ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

1.        Греческая арифметика

2.        Греческая геометрия

3.        Греческая тригонометрия на плоскости

4.        Греческая сферическая тригонометрия

5.        Два общих  замечания

 

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

 

Глава   II

ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА

 

... and then the different branches of  Arithmetic

- Ambition, Distraction, Uglification, and Derision.

Lewis С а r r о l l [1]

 

1.      Греческая арифметика

 

За прошедшие 2 000 лет человеческая натура не изменилась, и грекам, так же как и нам, не были чужды честолюбие, рассеянность и насмешливость, но я не уверен насчет обезображивания. И что еще более важно, они хорошо владели основными арифметическими дей­ствиями.

В современных переводах астрономических работ древних греков или при обсуждении этих работ часто пользуются привычной для нас записью чисел. Между тем иногда именно знание и понимание соответствующей формы, в которой греческий астроном записывал числа, является существенным в понимании того, что он делал. По этой причине в моей работе и отведено некоторое место греческим цифрам. Как оказывается, это единственный раздел, который нам надо изучить в том виде, в каком он входил в греческую арифметику.

Две тысячи лет назад греческий алфавит состоял из 24 букв. К этим 24 буквам нужно добавить еще три специальных знака; итого полу­чается 27 символов [2]). Первый дополнительный символ вставляется между µ и ¶, следующий - между А и Б и последний стоит за Й. Пер­вые девять символов из этого расширенного множества обозначали у греков целые числа от 1 до 9, следующие девять использовались для обозначения чисел, кратных 10, т. е. для 10, 20 и т. д. до 90. По­следние девять символов обозначали числа, кратные 100 [3]).

С помощью этих символов греки могли записывать целые числа до 999. Их система записи в чем-то сходна с позиционной. Например, числу 237 соответствует Г»¶. Символы записывались слева направо, начиная с наибольшего. Но значение символа определяется не его местом в записи числа, а тем множеством, из которого этот символ взят. Это хорошо видно на примере чисел, содержащих нули. Так, число 207 записывалось как Г¶, а число 230 - как Г».

Чтобы записывать числа, большие 999, греки снова используют первую группу из девяти символов для обозначения первых девяти чисел, кратных 1 000. Так, в разделе VIII.7 мы увидим, что у Птоле­мея встречается число 1 210; он записывает его как ±Г№. Итак, теперь можно записывать числа до 9 999. Большие числа нам не по­надобятся, так что я и не буду описывать систему их записи, отмечу лишь, что она сложнее.

Если цифры появлялись в предложении, как это было в предыду­щих абзацах, то чтобы отличать слова от чисел, греки ставили либо черточку над соответствующим символом, либо знак ударения рядом с ним.

Дроби греки записывали двумя способами.  Во-первых, они использовали простые дроби, но далеко не все. Кроме 2/3 и 2/5 я встре­чал лишь дроби с единицей в числителе.  Дробь 2/3 обозначалась специальным  символом,   дробь  же  2/5  описывалась  словами.   Все дроби, кроме 2/3 и 2/5, обозначались тем же самым символом, что и число в знаменателе, но после него ставился знак, показывающий, что это не целое число, а дробь. Так, 1/4 могла быть записана как ґ", где ґ обозначает число 4, а по знаку " мы определяем, что это дробь [4]).

Во-вторых, греки использовали позиционную систему, абсолютно аналогичную нашей, только вместо 10 за основание они брали 60. Нам часто придется записывать числа в этой шестидесятеричной си­стеме. Сейчас постараюсь объяснить принцип такой записи. Проще всего показать это на примере. Рассмотрим число

359*600+45*60-1+24*60-2+45*60-3+21*60-4+8*60-5+35*60-6.

Его мы будем записывать так: 359; 45,24,45,21,8,35 [5]). Точка с запятой отделяет целую часть числа от коэффициентов при отрицательных степенях 60, запятые же отделяют друг от друга эти коэффициенты.

Греческий астроном использовал бы, конечно, свои цифры для записи всех разрядов этого шестидесятеричного числа. Между раз­рядами он мог просто оставить промежутки, выделив некоторым спе­циальным знаком целую часть (коэффициент при 60°). Отделив коэф­фициенты друг от друга промежутками, он мог поставить черточки над некоторыми из них. Мог он также нарисовать черту над целой частью, а другие коэффициенты отметить штрихами. В этом последнем случае запись получилась бы такая: ДЅё јµ'Зґ''јµ "' З± ""·"'"»µ""".

Видимо, отсюда пошел наш способ записи углов или времени су­ток. Число минут - это число в первом дробном разряде, а число секунд - число в следующем разряде. Аналогичным образом можно было бы ввести свои названия для единиц третьего разряда, четвер­того и т. д. Тогда наше число читалось бы так: 359 градусов плюс 45 «первых единиц» (или минут), 24 «вторые единицы» (или секунды), 45 «третьих единиц», 21 «четвертая единица», 8 «пятых единиц», 35 «шестых единиц».

Как и многое другое в астрономии, эти обозначения греки пере­няли у вавилонян. Надо отметить, что, естественно, кроме введения собственных цифр, греки существенно изменили запись целой части числа в вавилонской системе. Греки обычно записывали целую часть числа в своей «десятичной» системе (эта система записи была пояснена немного выше). Вавилоняне же использовали шестидесятеричные обозначения и для записи целой части. Так, в нашем примере до точки с запятой они поставили бы в своих обозначениях эквивалент записи 5,59 (5*601+59*600), а не 359 [6]).

Шестидесятеричная система и в вавилонских записях позднего периода, и в греческих записях была настоящей позиционной систе­мой, поскольку в ней использовался нуль. Однако он использовался лишь в той части записей, которую можно отнести к шестидесятерич­ной системе, но никак не к десятичной. Поясню, что имеется в виду. Рассмотрим число 3;0,20. Сейчас будем писать просто «нуль» вместо специального греческого символа для обозначения нуля. Итак, гре­ческий астроном мог бы записать это число как і нуль 'З". Вместо пустого шестидесятеричного разряда (в данном случае первого после точки с запятой) он поставил нуль. Но за З (20) не будет стоять ни­какого нуля в пустом втором десятичном разряде.

Объясним это несколько по-другому. В любом шестидесятеричном разряде (в первом, втором и т. д.) может стоять любое число от 0 до 59 (если пользоваться нашими обозначениями). И в том случае, когда это число равно 0, греческий астроном запишет соответствующий специальный символ. Однако для чисел от 1 до 59 он пользуется ранее описанной алфавитной нумерацией.

Было   предположение,  что   греческое   обозначение   нуля - это первая буква слова «їЕґµЅ»-«ничто». Тогда символ нуля будет простым кружком, как и наш 0. Однако сомнительно, чтобы для обозначения нуля ввели какую-либо букву греческого алфавита, поскольку все буквы уже приписаны другим числам; в частности, о соответствует 70. К тому же простой кружок используется для обозначения нуля только в греческих записях византийского периода [Нейгебауер, 1968, с. 29]. В интересующий нас период нуль имел различные формы. Одна из этих форм такая: O. Ее можно интерпретировать  как о (омикрон) с чертой сверху, чтобы этот символ отличался бы от символа для обозначения числа 70. Но  следует  обратить внимание на другие, возможно, более древние символы, такие как   или похожие на  него.

Возможно, мы никогда не узнаем происхождения обозначения нуля кружком, но вполне правдоподобно предположение, что это лишь способ обозначать «ничто».

Наши цифры часто называют арабскими, но в действительности они индийские по происхождению. Интересно, что индийская форма нуля тоже простой кружок [Смит и Гинзбург, 1956]. В настоящих арабских цифрах сейчас (и в средние века) нуль обозначается жир­ной точкой, а простой кружок обозначает цифру 5.

Греческие цифры, включая и те их формы, о которых здесь ничего не говорилось, подробно рассмотрены в книге Нейгебауера [1968, глава I]; там можно найти и дополнительную литературу. Цифры рассмотрены и в работе Смита и Гинзбурга [1956]; в этой рабо­те приведены интересные рассуждения о таких применениях цифр, когда римские цифры оказываются более удобными, чем совре­менные.

В цитатах из греческих текстов при записи дробей я буду следо­вать оригиналу, только вместо греческих буду пользоваться совре­менными цифрами. Если в оригинале дроби описаны словами,  я буду давать такое же описание; если дроби записаны в шестидесятеричной системе, то я их запишу в этой системе; если они записаны в простых дробях, то я буду использовать почти такую же форму записи.  Отличие состоит в следующем:  у  греческих астрономов редко можно встретить дроби с числителем, отличным от единицы, поэтому вместо одной дроби они часто писали сумму дробей. Например, у них могла встретиться такая запись: 1/2+1/4. В этих случаях я заменяю сумму на одну, равную ей дробь. То есть вместо 1/2+1/4 я буду писать-3/4 [7]).

 



[1] Из главы IX книги Л. Кэррола «Алиса в стране чудес».

В русском переводе это звучит так: «А потом принялись за четыре действия Ариф­метики: Скольжение, Причитание, Умиление и Изнеможение». (Л. Кэррол «Алиса в стране чудес и в Зазеркалье», М.; Наука, 1978, с. 78). Однако если переводить до­словно, то у Кэррола фигурируют такие действия арифметики: честолюбие, рассе­янность, обезображивание и насмешливость. Эти слова подобраны по их созвучию названиям четырех действий арифметики. (Примеч. пер.).

[2] Три дополнительных знака - это буквы греческого алфавита ранней формы, отпавшие в более позднее время. Это обстоятельство позволяет нам отнести развитие «классических» греческих цифр к -800 г. по времени и считать местом их появления Малую Азию [Нейгебауер, 1968, с. 26].

[3]  Первый дополнительный символ соответствует цифре 6, следующий - числу 90 и последний соответствует числу 900. Я не знаю, поставлены ли эти символы на те места, которые они занимали в древнем алфавите, или же расставлены произволь­но. При рассмотрении греческих цифр я пользуюсь «маленькими» буквами, например і, так как они, вероятно, более привычны для большинства читателей. Следует, одна­ко, отметить, что в «классическое» (автор часто использует термин «классический» для обозначения античной эпохи - Ред.) время их, наверное, не было; «классические» записи, по всей видимости, содержат лишь заглавные буквы, такие как Г.

[4] Во многих греческих текстах дробь 1/2 обозначается не І", а специальным сим волом.

[5]  Это число равно числу градусов, которые среднее Солнце в теории Гиппарха проходит  за   365  суток.

[6] Это замечание относится только к специальным записям таким, как астроно­мические тексты. В других случаях система счисления у вавилонян существенно отличалась от шестидесятеричной Я думаю, что и греки пользовались шестидесяте­ричной системой тоже только в специальных записях.

[7] Дроби с единицей в числителе называются единичными дробями. Они являют­ся изобретением египетской арифметики, и греки, вероятно, заимствовали их у егип­тян. Я не знаю, повсеместно ли греческие математики использовали единичные дроби или нет. Птолемей часто пользуется такими дробями, но это неудивительно: ведь он жил в Египте и, несомненно, многое перенял из египетской культуры. Именно здесь я хотел бы отметить также, что Птолемей, насколько известно, не имел никакого отно­шения к династии египетских правителей Птолемеев, хотя часто можно встретить утверждение о том, что он был членом этой царской семьи.

К довершению чего, разработка сайта дополняет рекламные мероприятия в оффлайне.Даже в декабре вы можете купить букет невесты из ландышей! Порадуйте себя в праздник!купить бизнеслечение простатита