ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

1.        Измерение долготы Луны

2.        Пять измерений положения Солнца и Луны

3.        Модель Птолемея, описывающая движение Луны

4.        Подделки с расчетами и подделки с просчетами

5.        Автор обмана

6.        Точность модели движения Луны по долготе

 

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

6. Точность модели движения Луны по долготе

 

Модель движения Луны, изображенная на рис. VII.2, дает нам способ вычисления и долготы Луны, и расстояния до нее от Земли. В разделе VIII.5 я рассмотрю точность, с какой по этой модели можно определять расстояние. Сейчас же я рассмотрю точность модели только по долготе Луны.

Изучив птолемеевы модели для Солнца, Луны и планет, Дрейер пишет: «Почти во всех деталях (кроме изменения расстояния до Лу­ны) [1]) модель геометрически представляет движения настолько хорошо, насколько это возможно, если пользоваться простыми приборами...» [см. Дрейер, 1905, с. 200]. Многие авторы после Дрейера и, возможно, многие до него придерживались такого мнения. Я же при детальном изучении моделей Птолемея не нашел никаких обоснований подобным утверждениям. Думаю, что это иллюстрация хорошо известного прин­ципа, который можно назвать «увековечиванием ошибки».

Этот принцип можно сформулировать следующим образом. Пред­положим, что ошибка, сделанная автором А, была как-то опубликова­на. И пусть более поздний автор Б цитирует или упоминает эту ошибку, принимая ее за истинное утверждение. Вот ошибка и ста­новится вечной и искоренить ее из научной литературы уже нельзя. Конечно, нельзя серьезно говорить о том, что исключений не бывает. Однако имеется поразительно много примеров, для которых этот принцип верен. Каждый читатель, наверное, сможет привести свои примеры.

Чтобы оценить точность лунной модели Птолемея, я сначала вы­числил долготу Луны по теории Брауна [2]) для 51 момента времени с промежутком, равным 139 суткам. Полученные данные соответство­вали интервалу времени примерно в 19 лет. В конце этого периода Солнце и Луна довольно близко подошли к тем положениям, какие они занимали в начале. Потом я написал программу вычисления ее поло­жений непосредственно по теории Птолемея на те же самые моменты времени и сравнил результаты, полученные но двум теориям. У Пто­лемея были ошибки в значениях n( и і2( так что сравнение зависит и от усредненной эпохи. Чтобы обойти эту трудность, я сделал значение усредненной долготы одинаковой. Для этого ко всем долготам, полу­ченным по теории Брауна, я прибавил константу. Проведя такое сравнение, я стал менять в теории Птолемея параметры до тех пор, пока не получил результаты, наиболее близкие к результатам, получившим­ся по теории Брауна. В процессе таких изменений значения n( и і2( оставались постоянными, а менял я значения L0 и і0  в начальную эпоху, радиус эпицикла r и расстояния ЕС1 и EС2 (см. рис. VII.2) [3]). Эти расстояния я обозначаю соответственно Б1 и Б2.

Таблица  VII.2

Сравнение птолемеевых параметров для Луны с «наиболее подходящими»

Параметр

 

 

Значение у Птолемея

 

 

«Наиболее подходящее»

значение

 

L0

і0

r

Б1

Б2

E1

E2

Г

 

41,367°

268,817°

0,087500

0,171944

0,171 944

5,020°

7,664°

0,581°

 

41,376°

268,775°

0,092 929

0,143 900

0,163040

5 ,332°

7,497°

0,558°

 

Сравнение полученных результатов легко провести с помощью таблицы VII.2. В первыхпяти строках таблицы приведены значения Птолемея и «самые подходящие» значения пяти параметров L0, і0, r, Б1 и Б2. Единицей расстояния в этом случае служит радиус дефе­рента для Луны, находящейся в си­зигии. В таком масштабе расстоя­ние Р (рис. VII.2) равно 1- Б1. Следующие две строки дают зна­чения, получившиеся для E1 и E2. Величина E1- это максимальное значение уравнения центра для Лу­ны, находящейся в сизигии, а E2 - максимальное значение уравнения центра Луны в фазе четверти, В по­следней строке таблицы даны значе­ния а, среднего квадратичного от­клонения погрешности.

Максимальная погрешность, по­лученная с параметрами Птолемея, равна 1,08°, а среднее квадратичное отклонение равно 0,581°, около 35'. Видимый диаметр Луны, находящей­ся на среднем расстоянии от Земли, примерно 33', так что ошибка в несколько раз больше видимых разме­ров Луны. Мне кажется, подобную теорию нельзя считать большим достижением. Вне всякого сомнения, она не дает долготу с той точ­ностью, какая достигалась в астрономических наблюдениях греков. Мы видим, что дело здесь не в неудачном выборе параметров; сама модель не такая уж удачная. Даже для «наилучшего» выбора параметров среднее квадратичное отклонение уменьшается только до 0,558 (около 33 1/2 минуты дуги).

В книге Теннери [1893, с. 211 и далее] показано, что в модели Птолемея есть и эффект эвекции, и она отражает примерно половину того эффекта, который в уравнении (VI.4) описывает член, названный вариацией. Соответствующее выражение равно 0,66°sin 2D, где D - элонгация Луны. На основании этого в Части I я написал, что модель Птолемея описывает эвекцию, а также «частично согласуется» с ва­риацией [4]). Но тщательно изучив ситуацию, я понял, что это утвержде­ние неверно. В подтверждение приведу два соображения.

Сначала из модели Птолемея Теннери получает формальное выра­жение для уравнения центра и дает это выражение в форме ряда по степеням расстояний r и Б. В разложении есть члены, соответствую­щие членам 6,29° sin M, 0,22° sin 2Mи 1,27° sin(2D-M) из уравнения (VI.4), но коэффициенты получаются несколько другими. В обозначениях, использовавшихся в этой книге, оставшиеся в разложении члены с точностью до числового коэффициента равны

sin 2D [cos(2D + M)+ 2 cos(2D-M)].

Коэффициент равен примерно 0,30°. Если умножить этот коэффициент на максимум выражения в квадратных скобках, то получим 0,53°, зна­чение, довольно близкое к коэффициенту 0,66° в вариации. Эту вели­чину надо умножать на sin

2D, как в вариации, поэтому Теннери и гово­рит, что такое выражение соответствует определенной части вариации.

Рис. VII.6. Ошибка в птолемеевой модели движения Луны, представленная как функция элонгации Луны. Ошибка вычислялась так: из значения, полученного по теории Брауна, вычитали значение, полученное по теории Птолемея. Знаками «+» отмечены ошибки, вычисленные для 51 момента времени с интервалами в 139 суток между ними Кривая - это функция 0°,66 sin 2D, где D - элонгация.

 

Теннери не исследует ситуацию достаточно глубоко, и это объяс­няется, возможно, тем, что затронутый вопрос не очень важен. А ведь он мог увидеть, что величина в квадратных скобках для каждого значения D, если взять усреднение по аномалии М, в среднем равна нулю. Поэтому этот член в выражении, найденном Теннери, вовсе не соответствует вариации; он просто показывает, насколько модель Птолемея расходится с эвекцией [5]).

Теперь давайте рассмотрим погрешность в модели Птолемея для отдельных моментов времени. На рис. VII.6 по оси к отложена элон­гация D, по оси у отложены погрешности. Знаками «+» отмечена 51 по­грешность для отдельных моментов времени, кривая - это функция 0,66° sin 2D. Кривая довольно хорошо вписывается в отмеченные зна­ками «+» отдельные погрешности. Другими словами, похоже, что погрешности равны вариации 0,66° sin 2Dи еще различным малым воздействиям, зависящим от других величин. Непохоже, чтобы модель описывала какую-нибудь часть вариации.

Но тогда перед нами встают другие вопросы. Мы предполагаем, что радиус деферента в квадратурах меньше, чем в сизигиях, и, таким образом, можно получить достаточную точность для уравнения центра в этих фазах. Почему же Птолемей делает поправку для октантов (в этих фазах элонгация равна нечетному кратному 45°)? Как случилось, что решив сделать такую поправку, Птолемей выбрал то значение параметра Б2, которое удивительно близко к значению, обусловленному эвекцией? Последний вопрос требует некоторого пояснения.

Заменим в уравнении VI.4 значения М (измеренные от перигея) на і+180°, где і измеряется от апогея, и оставим только два старших члена. Тогда

еC=-6,29° sin і-1,27° sin (2D-M).

Пусть, например, D=45° (любое другое нечетное кратное 45° даст аналогичный результат). В этом случае получаем:

еC=-6,29° sin і-1,27° cos і.

Если 7=0, то еC=-1,27°. Это, в свою очередь, позволяет нам опреде­лить на рис. VII.5 точку K, от которой надо измерять аномалию, если модель правильно дает эвекцию. В результате получаем, что для D=45° угол между Z и К. равен 13,1°. По таблицам Птолемея этот угол равен 12,0°.

Но для других значений Dпо таблицам Птолемея нельзя получить такие хорошие результаты. Например, для D=60° мы получаем, что еC=-1,10°, если і=0. Используя соответствующий D=60° радиус деферента, находим, что угол от Z до К уменьшается до 10,3°, а по таблицам Птолемея он увеличивается до 13;04=13,07 градуса.

Если оставить в стороне последний из рассмотренных вопросов, то у Птолемея, видимо, не было оснований для предположения о том, что эвекция может быть выражена с помощью члена, пропорционального sin(2D-і), и поэтому он, вероятно, не мог использовать приведенные аргументы. Но если проведенное Гиппархом 2 мая -126 г. измерение было подлинным до того, как Птолемей изменил его своей подделкой, то Птолемей должен был увидеть, что с его моделью для D=315° не все благополучно. В этот момент по вычислениям Птолемея у была рав­на 185;30 градуса, а это приводит к еC=+0,665° (почти точно 0;40). Но правильное значение уравнения центра на этот момент было равно -1;22 градуса, и подлинное наблюдение привело бы к очень близкому значению. Следовательно, надо довольно сильно изменять аномалию; модель Птолемея дает для этого наблюдения значение еC=-0;46,

С наблюдением 7 июля-126 г. дело обстоит несколько иначе. У Птолемея і равнялась 333;12 градуса; такому значению у соответ­ствует еC=2;32 градуса. Это очень близко к верному значению 2;19 гра­дуса. Так что значительных изменений аномалии не требуется. В среднем же изменение, получающееся по обоим наблюдениям, довольно близко к той величине, какую брал Птолемей.

Для своей окончательной модели Птолемей так подгоняет данные, чтобы Б1 и Б2 были равны. Я не думаю, чтобы к этому равенству Птолемей пришел в результате усреднения по большому количеству результатов. С одной стороны, если бы он так поступил, то получил бы изменение, соответствующее D=45°, близкое к 13,1°. С другой стороны, Птолемей часто так подгоняет данные, чтобы какой-нибудь важный параметр был равен целому числу, либо чтобы два параметра получи­лись равными. В разделе VI.7 мы рассматривали, как Птолемей нахо­дит максимальное значение уравнения центра в сизигиях, и это почти наверное является примером подделки первого типа. В дальнейшем мы получим примеры подделок второго типа. Я думаю, Птолемей просто взял Б2 равным Б1; равенства он любил.

Но есть еще один вопрос, который я до сих пор не рассматривал. Почему у Птолемея максимальное значение уравнения центра для Луны в квадратуре равно 7;40? В Части I(тогда я еще не обнаружил просчетов в его вычислениях) я верил словам Птолемея о том, что к значению 7;40 градуса приводит наблюдение Гиппарха от 5 августа -127 г. Теперь мы знаем, что из наблюдения Гиппарха такое значение не получается, и следовательно, мы должны спросить: откуда Птолемей берет это значение? Вопрос тем более уместен, что, как мы знаем, Пто­лемей, чтобы получить значение 7;40, сфабриковал и свое наблюдение, и наблюдение, приписанное им Гиппарху.

Удовлетворительного ответа на этот вопрос я не нашел. Не думаю, что Птолемей выбрал 7;40 градуса на основе «магии чисел». Но здесь может быть причина, о которой я не знаю. Возможно, конечно, что Гиппарх оставил большое количество наблюдений, по которым в сред­нем получается значение 7;40 градуса. Погрешность в таком значении составляет около 0,11°. Вариация с ее самым большим коэффициентом 0,66° не влияет на показания приборов в квадратурах, поэтому до­статочное число достаточно аккуратно проведенных наблюдений, могло бы привести к среднему значению, имевшему подобную точ­ность.

На рис. IV.5 показана модель, которую я назвал моделью вторич­ного эпицикла. В основе этой модели лежит изменение r, расстояния от  до Луны, а не радиуса деферента R. Если мы применим такую модель к Луне, то получим модель, показанную на рис. VII.7. Угол, E^ - это средняя долгота Луны. У первого эпицикла (с центром в точке ) радиус MBнаправлен на положение апогея Луны. Этот ра­диус вращается с периодом, равным 8,85 года. Угол ВМ равен 2D; точка М обозначает положение Луны. Радиус первого эпицикла выбран так, чтобы максимальное значение уравнения центра было равно 6,29Ъ. Радиус второго эпицикла выбран так, чтобы это значение изменилось на величину 1,27°, если оба радиуса расположатся вдоль одной прямой.

Среднее квадратичное отклонение погрешности этой модели состав­ляет 0,545°. Таблица VII.2 показывает, что модель вторичного эпи­цикла немного точнее модели Птолемея, независимо от того, брали ли мы последнюю с параметрами Птолемея, или же с «наиболее подхо­дящими» параметрами. Однако значительное преимущество модели вторичного эпицикла не в этом. Два основных преимущества модели вторичного эпицикла в другом. Первое состоит в том, что эта модель намного лучше представляет расстояние до Луны, чем модель Птоле­мея (это мы увидим в следующей главе). Второе преимущество со­стоит в том, что модель вторичного эпицикла дает, по существу, ту же точность по долготе, что и модель Птолемея, но модель вторичного эпицикла намного проще. С этой моделью астрономам было бы намно­го легче открыть систематическое расхождение, называемое вариа­цией. А так вариация не была открыта примерно до 1600 г. Кроме того, модель можно изменить так, чтобы учесть вариацию. И полу­чающаяся окончательная модель, хотя и значительно более точная, все же была бы не сложнее модели Птолемея.

В главе IV.6 я говорил, что первым из европейских ученых исполь­зовал модель вторичного эпицикла для Луны Коперник [Коперник, 1543, глава IV.3]. Но такой моделью за два столетия до Коперника поль­зовался мусульманский астроном ибн аш-Шатир [Нейгебауер, 1968, с. 191-192]. Мы не знаем, изобрел ли Коперник эту модель независимо или нет.

 

Рис VII.7. Модель вторичного эпи­цикла для Луны. Точка Е - Зем­ля, прямая Е^ направлена на точ­ку весеннего равноденствия Точка М - Луна, а  - средняя Луна. Таким образом, угол ^ равен средней долготе Луны Прямая от М к В направлена на апогей Луны, угол ВМ равен удвоенной элон­гации Луны. Прямая ВМ вращает­ся против часовой стрелки. Если расстояние Е взято равным еди­нице, то радиусы эпициклов равны 0,109801 и 0,022 164

 

 

 

 

Я также рассчитал точность, какая получается при использовании одного эпицикла с таким радиусом, чтобы максимальное значение уравнения центра было равно 6,29°. Среднее квадратичное отклонение равно 1,094°, примерно в два раза больше, чем для модели Птолемея или для модели вторичного эпицикла. Модель Птолемея, конечно, больше подходит для описания геоцентрической долготы Луны, чем модель с одним эпициклом. По сравнению с такой моделью погрешность по долготе в модели Птолемея вдвое меньше. Более того, в модели Пто­лемея проявляется систематическое различие между фазами сизигий и квадратур. Это улучшение получено ценой значительной потери точ­ности описания расстояния до Луны (это мы увидим в следующей главе).

Большая ошибка при определении расстояния до Луны означает большую ошибку при определении параллакса, который входит в топоцентрическую долготу. А ведь именно эту величину в действи­тельности наблюдают астрономы. Поэтому неясно, дает ли модель Птолемея какое-либо улучшение для определения наблюдаемой дол­готы. Мне кажется, что по обычным нормам оценки научного дости­жения в общем модель Птолемея надо считать неудачной.

 



[1] Скобки Дрейера.

[2] Браун [1919] На самом деле я использовал уточнение теории Брауна, полу­ченное в работе Эккерта, Джонс и Кларка [1954]. В большинстве национальных публи­каций это является основой для лунных эфемерид.

[3] При обсуждении модели Птолемея обычно считается, что расстояния ЕС1 и EС2 равны. И у Птолемея в окончательном варианте его модели они на самом деле равны. Но начинает он свои исследования с допущения, что эти расстояния могут различаться, а затем измерениями «доказывает», что они равны. Поэтому оценивая точность модели, следует рассматривать и тот случай, когда эти расстояния не сов­падают.

[4] Так и я внес свой вклад в «увековечивание ошибки».

[5] Дрейер [см Дрейер, 1905, с. 256] отмечает, что член, полученный Теннери, «очевидно  не имеет ничего общего с вариацией, кроме того», что он пропорционален sin2D. Поскольку дело ясно, Дрейер не дает никаких объяснений. Но на той же самой странице он делает замечание, которого я не понимаю Дрейер говорит, что добавле­ние вариации к теории Птолемея «испортило бы последнюю и максимальная погреш­ность стала бы больше градуса». Получается, что исправление ошибки или упущения увеличит общую погрешность. Возможно, Дрейер хотел сказать нечто совсем другое, но тогда я не знаю, что имелось в виду. Как мы видели, наибольшая погрешность в тео­рии Птолемея составила больше градуса. Описанным выше способом я проверял, как влияет на теорию Птолемея добавление вариации. В результате наибольшая погрешность падает с 1,08° до 0,75°, а среднее квадратичное отклонение уменьшается с 0,58° до 0,31°. Введение вариации в теорию Птолемея делает ее более совершенной, а не портит.