ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

1.        Параллакс

2.        Эвекция и вариация

3.        Уравнение времени

4.        Среднее движение Луны

5.        Использование затмений Луны при изучении ее движения

6.        Четыре сфабрикованные триады лунных затмений

7.        Доказательство подделки

8.        Автор обмана

9.        Узел лунной орбиты

10.     Итоги

 

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

5. Использование затмений Луны при изучении ее движения

 

Определив средние движения, о которых шла речь в предыдущем разделе, Птолемей строит модель, объясняющую положение Луны в сизигиях. Для остальных фаз он находит поправки, обусловленные эвекцией и другими отклонениями от простой модели. Описание по­ложения Луны в сизигиях Птолемей дает с помощью простой эпициклической модели (рис. IV.1).

Отметим одно следствие из полученных в предыдущем разделе средних движений. Значение і2( немного меньше значения n(, поэтому радиус эпицикла r медленно поворачивается относительно равноденст­вия. Разница между n( и і2(  (см. равенства (VI.8) и (VI.9)) составляет 0,111 399 355 2 градуса в сутки. Полный оборот радиус эпицикла со­вершает за 3 232 суток, или 8,85 года [1]). Он поворачивается в направ­лении против часовой стрелки. В том же направлении движется и сама Луна.

В главе IV.1 «Синтаксиса» Птолемей обсуждает, какие наблюдения нужно использовать при построении теории Луны, Как он говорит, нельзя, положившись на случай, брать все наблюдения подряд. И что важно, мы не можем ограничиться просто самыми древними наблюде­ниями, а должны выбрать из них наблюдения, проведенные во время лунных затмений. Только по наблюдениям во время лунных затмений мы можем определить действительное положение Луны. Все другие наблюдения, основаны ли они на определениях положения Луны среди звезд, или наблюдения, проводимые с помощью каких-то приборов, а также наблюдения, проведенные во время затмений Солнца, могут из-за параллакса дать ошибку. Итак, развивая теорию, описывающую положение Луны в сизигиях, мы будем использовать только те измере­ния, которые сделаны во время лунных затмений, так как в этом слу­чае параллакс на результаты не влияет.

Можно сказать, что на определение моментов начала и конца лун­ного затмения сильного влияния параллакс не оказывает. Каждый, кто может видеть Луну над горизонтом, увидит и ту точку Луны, кото­рая первой коснется тени Земли. Параллакс на это никак не повлияет. Но мы не увидим начала затмения, особенно при наблюдениях нево­оруженным глазом, до тех пор, пока тень Земли не закроет заметную часть Луны, а в этом случае параллакс уже может слегка повлиять на определение времени. Но подобное влияние, хотя оно и присутствует, намного меньше влияния параллакса на другие типы измерений.

Что же касается наибольшей фазы затмения, то этот аспект, если мое прочтение верно, не играет такой уж большой роли и не заслужи­вает того внимания, которое уделяет этому вопросу Птолемей. Влия­ние параллакса на измерения может быть довольно точно вычислено, и, следовательно, можно сделать соответствующую поправку за па­раллакс. По существу же вопрос в том, какой тип измерений в наблюде­ниях Луны может быть проделан с наибольшей точностью. Возможно, это момент начала покрытия звезды Луной. А может быть, начало или конец лунного затмения. В ответе я не уверен, но подозреваю, что момент начала покрытия определяется значительно точнее, чем время начала или конца лунного затмения. Из-за рефракции в атмос­фере край тени Земли довольно расплывчатый, поэтому нельзя точно определить, какой момент считать началом или концом затмения. С другой стороны, у Луны контур очень четкий и начало или конец покрытия определяется достаточно точно.

Из наблюдения лунного затмения надо получить момент середины затмения, т. е. момент, когда долготы Солнца и Луны отличаются на 180° [2]). На глаз определить моменты середины затмения вообще невоз­можно. В идеале надо действовать так: измерить моменты начала и конца затмения и за середину взять среднее арифметическое этих двух моментов. Иногда, особенно в самых древних наблюдениях, измерено только начало затмения. Но эту трудность можно обойти, поскольку можно вычислить продолжительность затмения. Так что середина зат­мения определяется только по времени его начала или конца [3]). По времени середины затмения мы определяем долготу Солнца, а затем и долготу Луны.

Итак, каждое затмение дает долготу Луны в определенный момент времени. Вспомним теперь, что эпициклическая модель (рис. IV.1) имеет пять параметров, которые надо найти из наблюдений. Два, n(  и і2( , мы уже нашли. Осталось еще три параметра. Это средняя долгота L(0  в некоторую эпоху, аномалия і(0 в ту же эпоху и радиус эпицик­ла r( .

Для нахождения долготы Луны определяющую роль играет отно­шение радиуса r к радиусу соответствующего деферента. В выборе радиуса деферента мы свободны. При обсуждении результатов Птоле­мея я буду следовать его выбору и брать радиус деферента равным 60.

Три только что перечисленных параметра Птолемей находит с помощью метода, которым, как он говорит, пользовался Гиппарх [глава IV.5 «Синтаксиса»]. Этот'метод основан на использовании мо­ментов середин трех затмений. На самом деле это означает, что он будет использовать положение Луны в три определенные момента времени поскольку, как мы видели, эту информацию можно получить из наблю­дений затмений. Каждое такое положение Луны дает нам одно уравне­ние, связывающее три неизвестных параметра, и для нахождения этих неизвестных требуется три уравнения.

В главе IV.6 «Синтаксиса» Птолемей находит эти параметры с помощью геометрических методов. Описание соответствующих мето­дов есть у Нейгебауера [1968, приложение I]. Решение Птолемея я проверял другим методом. Мой метод лишь в незначительной степени опирается на геометрию. Здесь индекс (  опущен, а числовые индексы указывают на то, к какому затмению относится соответствующая ве­личина. Так »1, L1 и і1 - это истинная долгота, средняя долгота и аномалия в момент середины первого затмения. С помощью рис. IV.1 находим соотношение

tg»1=sin L1+rsin(L11) / cos L1+гсоs(L11)                                                  (VI.10)

где r - радиус эпицикла. Аналогичные соотношения между »2, L2, і2, »3, L3 и і3 выполнены для второго и третьего затмений. Все » извест­ны из наблюдений. Пусть t1, t2 и t3 - это моменты трех затмений. Тог­да L2=L1+n((t2-t1) и аналогичное соотношение выполнено для і2, L3 и і3. Таким образом, величины L2, L3, і2 и і3 выражены через L1 и і1 а для трех неизвестных L1, і1 и rу нас есть три уравнения [4]).



[1] В действительности это период одного оборота линии апсид лунной орбиты (ее большой оси), которая поворачивается в том же направлении, что и Луна. (Примеч. ред.)

[2] Для каждого отдельного затмения это не совсем так, но в каждом отдельном случае погрешность мала, особенно если иметь дело с точностью наблюдений невоо­руженным глазом. Кроме того, утверждение верно, если взять усреднение по всем затмениям.

[3] Заметим, что Птолемей готов поставить свои результаты в зависимость от вычисления продолжительности затмения, но не в зависимость от вычисления па­раллакса.

[4]  Величина r входит в уравнения линейным образом Следовательно, r сразу можно исключить и у нас останется два уравнения с двумя неизвестными. Эти урав­нения решаются методом быстро сходящихся итераций.