ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

1.        Параллакс

2.        Эвекция и вариация

3.        Уравнение времени

4.        Среднее движение Луны

5.        Использование затмений Луны при изучении ее движения

6.        Четыре сфабрикованные триады лунных затмений

7.        Доказательство подделки

8.        Автор обмана

9.        Узел лунной орбиты

10.     Итоги

 

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

Г л а в а VI

ДОЛГОТА  ПОЛНОЙ  ЛУНЫ

 

1. Параллакс

 

Параллакс - это угол между направлениями, по которым объект виден из двух разных точек. В астрономии почти всегда одна точка - центр Земли, а вторая - точка на поверхности Земли, в которой проводятся астрономические наблюдения [1]). Если расстояние до на­блюдаемого объекта велико по сравнению с размерами Земли, то па­раллакс будет, очевидно, маленьким. Поэтому при наблюдениях невооруженным глазом параллаксами Солнца, планет и звезд можно пренебречь. Но Луна достаточно близка к Земле, и в теории Луны мы должны с самого начала учитывать ее параллакс [2]).

В общих чертах явление параллакса проиллюстрировано на рис. VI.1. Пусть задана система координат XYZ. Ось X - направление на весеннее равноденствие из центра Земли. Оси Y и Z определим позже. Точка Т - это положение наблюдателя на поверхности Земли. Рас­стояние СТ берем равным единице. Положение наблюдателя Т опреде­ляется с помощью двух угловых координат. Для нахождения этих координат проведем плоскость через точку Т (положение наблюдателя) и ось Z. Данная плоскость проходит через прямую ZC, точку Т и точ­ку, обозначенную на рисунке как Т'. Одна координата - это угол ТСТ', другая -угол Т'СХ.

Для точки Р мы можем ввести углы, аналогичные углам ТСТ' и Т'СХ. На рис. VI.1 это были бы углы РСР' и Р'СХ. Если точка Z - Северный полюс, а плоскость XY- экваториальная плоскость, то угол РСР' называется склонением, угол Р'СХ - прямым восхожде­нием. Склонение аналогично широте, а прямое восхождение-долготе. Если плоскость XY - плоскость эклиптики, то угол РСР' называется эклиптической широтой, а угол Р'СХ - эклиптической долготой [3]). Мы можем рассмотреть систему координат с осями, параллельными X, Y, Z, но с началом в точке Т. Координаты в такой системе назы­ваются топоцентрическими, а в системе координат с началом в точке С- геоцентрическими. При выводе или табулировании эфемерид небесного тела желательно, чтобы эфемериды не зависели от точки на поверх­ности Земли. Поэтому предпочтительнее давать эфемериды в геоцент­рических, а не в топоцентрических координатах. Но из наблюдений мы получаем именно топоцентрические координаты, и мы должны уметь от этих координат переходить к геоцентрическим.

В большинстве случаев оба геоцентрических угла отличаются от соответствующих топоцентрических углов. Поэтому у нас может быть параллакс по склонению, прямому восхождению, эклиптической ши­роте и эклиптической долготе. Другими словами, говоря о параллаксе, необходимо точно определять, к какой координате он относится.

 

Рис VI.1. Астрономический параллакс Точка С - центр Земли, точка Т - положение наблюдателя на поверхности Земли Плоскость, проходящая через точку Т и ось CZ, пересекает плоскость XY по прямой СТ'. Угловое положение точки Т определяется координатными углами ХСТ' и ТСТ Угловое положе­ние внешней точки Р определяется на­хождением точки Р' и заданием коор­динатных углов ХСР' и РСР' (точки Р' на рисунке нет). Предположим, мы ввели другую систему координат с нача­лом в точке Т и определили положение точки Р в новой системе координат ана­логичными построениями Если только Т не находится на прямой СР, то координат­ные углы с вершиной в точке Т отличаются от углов с вершиной в точке С. Это и есть явление параллакса.

 

Через точки С, Т и Р всегда можно провести плоскость, и в неко­торых случаях нас интересует параллакс только в этой плоскости. Ясно, что по перпендикулярному к этой плоскости направлению параллакса нет. Такая ситуация показана на рис. VI.2. На этом ри­сунке плоскость X'Y' - это плоскость, проходящая через точки С, Т и Р. В этой плоскости у нас только одна угловая координата. Угол PCX' - геоцентрический координатный угол » точки Р. Угол »Т- соответствующий топоцентрический координатный угол точки Р. И наконец, координатный угол »0(угол ТСХ') определяет положение точки Т относительно точки С. Расстояние СР обозначаем R, радиус СТ равен 1.

На плоскости параллакс можно описать достаточно простыми соот­ношениями. У точек Т и Р прямоугольные геоцентрические координаты (Х'Т,   Y'T) и   (X'Р, Y'Р) такие:

Х'Т =cos»0,     Y'T = sin»0;    X'P = R cos »,   Y'P = R sin ».

Следовательно, если смотреть из точки Т, то одна координата точки Р равна R cos »-cos »0, вторая равна R sin »-sin »0. Угол »Т можно найти   из   уравнения

tg »Т =(R sin »Т-sin »0)/(R cos » - cos »0).

Мы должны найти разность между углами »Т и ». Используя тригонометрическое выражение tg(A-B) через tg А и tg В, легко по­лучаем

tgТ - ») = sinТ- »0)/[R-cosТ- »0)].          (VI.1)

Уравнение (VI.1) я написал, чтобы явно указать зависимость паралла­кса »Т - »Т от R и от разности направлений »- »0 (разность геоцентри­ческих направлений наблюдаемой точки Р и положения наблюдателя  Т). Аналогичное уравнение мы можем получить   и в   общем случае (рис. VI. 1). Правда, здесь вывод значительно более трудоемкий. Об­щий случай мы не используем, и результаты я не  привожу [4]).

Хотелось бы знать, какое максимальное значение может принимать параллакс. Максимум будет в том случае, если прямые СТ и ТР (рис. VI.2) перпендикулярны, т. е. если прямая от объекта до Земли является касательной к Земле. А значит, в случае максимального па­раллакса прямая ТР - горизонтальная линия. Поэтому и максималь­ное значение часто называется горизонтальным параллаксом. Макси­мальное значение параллакса будем обозначать символом П. Нетрудно получить соотношение

sin П=l/R.      (VI.2)

 Если расстояние Rбольшое, то синус и сам угол (измеренный в ради­анах) равны, т. е. для больших R

П=1/R.       (VI.3)

 

Рис. VI.2.    Частный    случай    парал­лакса (на плоскости)   Рисунок  лежит в плоскости,  проходящей через точки С, Р и Т рисунка VI.1, X' и   Y' - ко­ординатные  оси    на   этой   плоскости. Угол »- это  координатный угол точ­ки  Р относительно точки С,   а   угол »Т - относительно точки Т. Угол »0 - координатный угол наблюдателя Т от­носительно  точки С   В   данном   час­тном случае параллакс равен разности »Т - ».   Эта   разность    равна     углу СРТ, т.   е. параллакс точки Р равен угловому расстоянию между  точками С   и   Т,    если смотреть   из   внешней точки Р.

 

Итак, нахождение горизонтального параллакса П эквивалентно на­хождению расстояния R.

Если R около 60 (как, например, для Луны), то уравнение (VI.3) не достаточно точно, и мы должны использовать уравнение (VI.2). Для очень точных телескопических наблюдений уравнение (VI.3) не подходит, в остальных же случаях (для Солнца и планет) мы можем им пользоваться.

В разделе IV.7 я мельком уже упоминал о параллаксе звезд. Коли­чественные выражения параллаксов звезд нам не потребуются, однако желательно сказать еще несколько слов, чтобы исключить неверное понимание. В уравнении (VI.3) единица в числителе - это радиус Земли, т. е. расстояние от наблюдателя до центра Земли. Если рас­сматривать звезды, то это расстояние ничтожно мало по сравнению с расстоянием до звезды. Пусть на рис. VI.2 точка С - это Солнце, Т - Земля, а круг с центром в точке С - орбита Земли. По мере дви­жения Т по своей орбите в течении года можно наблюдать параллакс звезд) [5]). Максимальный параллакс данной звезды задается уравнени­ем (VI.3), но здесь единица в числителе - это средний радиус орбиты Земли, а эта величина примерно в 23 000 раз больше радиуса земного шара. Но даже в этом случае наибольший известный нам па­раллакс звезды меньше 1". Значит, расстояние до ближайшей звезды более чем в 200 000 раз превосходит радиус орбиты Земли.

 



[1] Автор дает определение суточного параллакса; для звезд в астрономии ис­пользуется годичный параллакс, т. е. угол, под которым виден со звезды радиус ор­биты Земли. (Примеч. ред.)

[2] На принципе параллакса основано действие дальномера. По существу, дально­мер измеряет величину параллакса для двух точек, взаимное расположение которых известно, и определяет расстояние по полученному значению параллакса. Аналогич­ным образом используют параллакс для нахождения расстояний и астрономы.

[3] В случаях, когда нет опасения спутать эклиптические широту и долготу с широтой и долготой точки на поверхности Земли, прилагательное «эклиптическая» я буду опускать.

[4] Эти результаты можно найти в разделе 2F Вспомогательного приложения [1961] (См. также «Справочное руководство по небесной механике и астродинамике».- М.: Наука, 1976, ч. I, глава 2.- Примеч. ред.)

[5] См   примечание редактора к с. 111.