ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

1.        Что нужно астроному знать о Земле

2.        Форма Земли

3.        Измерение широты и наклона эклиптики

4.        Размеры Земли

5.        Измерение долготы

6.        Движение Земли

 

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

4. Размеры Земли

 

Я только что рассказал, как греческие ученые могли находить широту. Для измерения же долготы им необходимо было знать разме­ры Земли. Этим вопросом я теперь и займусь.

Самая ранняя оценка размеров Земли, которую мы знаем, была дана Аристотелем [Аристотель, ок. -350, глава 11.14]. Он говорит: «Математики, пробующие определить окружность, полагают ее равной 400 000 стадий» [1]). Иногда эту величину приписывают самому Аристо­телю, но, скорее всего, он просто взял ее из некоторого неназванного источника, теперь утерянного [2]).

Имеются и другие измерения, проделанные на раннем этапе раз­вития греческой астрономии [3]), но я перейду к тому измерению, кото­рое наиболее популярно в современной литературе. Это измерение было проделано Эратосфеном (напомним, что Эратосфен измерял также наклон эклиптики, см. раздел III.3). Основной метод, которым поль­зовался Эратосфен, довольно простой; этим методом пользовались и другие греческие астрономы. По существу, такой же подход использу­ется и в современной геодезии.

Этот метод состоит в следующем. Возьмем две точки, одна из кото­рых находится на север от другой. Нам надо знать широту каждой точ­ки или, по крайней мере, разницу широт этих точек. Кроме того, мы должны знать расстояние между этими точками. Предположим, что расстояние равно D, а разница широт составляет І градусов. Тогда окружность Земли С вычисляется по формуле

C=D(360/І).           (III.2)

Расхождение значений длины окружности Земли, полученных различ­ными астрономами, объясняется разницей в значениях измеренных величин D и І.

Как Эратосфен измерил І мы знаем. Он говорил, что широта еги­петского города Сиены (современный Асуан) равна наклону эклиптики, т. е. 23°51'20", а широта Александрии больше наклона эклиптики на 1/50 круга, т. е. на 7°12'. Эратосфен определял широты по положе­нию Солнца в момент летнего солнцестояния. Широту Александрии он получает равной 31°3'20" 4) [4]). В действительности широта Александ­рии равна примерно З1°13' [Атлас широт, 1955], т. е. ошибка у Эратосфена составила примерно 10'.

Античные источники расходятся по вопросу о том, как Эратосфен измерял расстояние D [5]). В соответствии с одной версией он использовал расстояние, которое было определено нанятыми верховной властью землемерами [6]). Согласно другой версии Эратосфен использовал то значение, которое было определено по времени, затрачиваемому на путь от Сиены до Александрии верблюжьими караванами. Каким бы ни был метод измерения расстояния, нам сейчас важно, что Эратосфен брал это расстояние равным 5 000 стадиям [7]). Окружность Земли по­лучалась равной 250 000 стадий.

Если «караванный метод» упоминается кем-либо из древних авто­ров, то я вижу лишь одно объяснение тому, что мы можем найти опи­сания двух способов определения расстояний. При упоминании о широтах Сиены и Александрии, а также о расстоянии между ними по­стоянно ссылаются на Эратосфена; так что он, видимо, приводит эти величины в своей теперь потерянной работе. В вопросе о способе нахождения расстояния единого мнения нет; дело, по-видимому, в том, что сам Эратосфен ничего об этом не говорит. Комментаторы работ Эратосфена добавляли наиболее вероятный с их точки зрения способ, тот способ, каким бы они сами определяли расстояние. Вполне возможно, что расстояние в 5 000 стадий было общепринятым значе­нием.

Много чернил изведено на рассуждения о точности результата Эратосфена. Если мы возьмем стадию, равную 157,5 метра, то полу­чим длину окружности, равную 39 375 километрам; правильное зна­чение - около 40 000 километров. Однако если мы возьмем олимпийс­кую стадию в 185 метров, то получим окружность длиной 46 250 кило­метров, а если возьмем королевскую египетскую стадию, то получим 52 500 километров. Многие авторы, которые пытались оценить точ­ность результата Эратосфена, выбирали одну из этих длин и опреде­ляли точность, сравнивая ее с результатами современных измерений. Большинство из них не обратили внимания на тот факт, что мы не оценим точность измерения, если просто сравним его с «правильным» результатом.

Поясню на примере. В соответствии с теорией Ньюкома (уравне­ние (III. 1)) наклон эклиптики в -114 г. с точностью до секунд дуги был равен 23°42'35"; будем считать эту величину «правильной». Как мы знаем из предыдущего раздела, наклон эклиптики можно найти по данным о звездах; с точностью до секунд дуги на тот же год мы полу­чаем значение 23°43'06" [Ньютон, 1974]. Эти величины отличаются на 31". Однако не эта разница характеризует точность результата, полученного из наблюдений звезд. Каждое измерение состоит из двух частей. Одну часть можно назвать центральной величиной [8]), а дру­гую - средним квадратичным отклонением. В современной науке никакое измерение нельзя считать достоверным, если дана только центральная величина без среднего квадратичного отклонения или какого-либо его эквивалента.

Задавая среднее квадратичное отклонение, мы признаем тот факт, что каждое измерение содержит некоторую погрешность и что, проводя измерения несколько раз, мы, как правило, не получаем один и тот же результат. Это значит, что центральная величина (обозначим ее через А), которую мы получили в результате измерения, до некото­рой степени величина случайная. По условиям измерения мы оцениваем среднее квадратичное отклонение (обозначим его Г) и записываем результат в виде А±Г. Это значит, что «правильное» значение с веро­ятностью, которую мы оцениваем как 2/3, лежит между А-Г и А+Г [9]). Другими словами, мы считаем, что получив значение, равное А, мы с вероятностью примерно один шанс из трех ошиблись больше, чем на Г.

В случае измерения наклона эклиптики на –114 г. значение а равно 3'19". Так что за величину погрешности в наклоне эклиптики мы должны взять именно это значение, а не 31".

Попробуем теперь оценить величину а для измерения окружности Земли, проведенного Эратосфеном. В окончательный результат вошли три отдельных измерения. Это широта Сиены, широта Александрии и расстояние между этими городами. Рассмотрим каждое измерение в отдельности. Мы можем не учитывать, что Александрия расположена не строго на север от Сиены, а еще и примерно на 3° западнее.

Согласно Эратосфену широта Сиены равна наклону эклиптики, который в его время составлял 23,723°. Правильное значение широ­ты Сиены около 24,083°, т. е. погрешность составляет 0,360°, примерно 22'. Погрешность в измерении широты Александрии должна быть при­мерно такой же. Определим теперь погрешность разности. Согласно математической статистике разностью двух случайных величин A1±Г1 и A2±Г2

будет новая случайная величина (А1-A2) ±(Г1222). В на­шем случае каждое Г равно 0,360°, поэтому среднее квадратичное от­клонение, которое мы должны приписать разности, почти точно равно 0,5°. И значение Эратосфена для разности по широте надо запи­сать как 7,2°±0,5°. Среднее квадратичное отклонение составляет около 7%.

Мы не знаем, как Эратосфен находил расстояние между двумя го­родами; более того, мы даже не знаем, чему было равно это расстояние, поэтому у нас нет способа оценить соответствующую точность. Мы можем лишь сказать, что окончательная погрешность у Эратосфена для длины окружности должна быть больше, чем погрешность для раз­ности широт. Иначе говоря, окончательное значение среднего квадра­тичного отклонения должно быть больше 7%.

Эта оценка погрешности, конечно, спорная, и я не собираюсь силь­но настаивать на том способе, каким она была получена. Если Эратос­фен измерял широту Александрии с помощью гномона (судя по его ошибкам, это вполне вероятно), то рис. III.2 наводит на мысль, что правдоподобная оценка погрешности для широты Александрии равна видимому радиусу солнечного диска. Это около 16'. Однако для из­мерения широты Сиены рисунок неприемлем. Если широта и в самом деле равна наклону эклиптики, то Солнце в полдень дня летнего солнцестояния находится прямо над головой. Читатель может сделать рисунок для данного случая, и тогда он увидит, что полутень лежит точно вокруг основания гномона и погрешность должна быть довольно маленькой, значительно меньше, чем погрешность для широты Алек­сандрии.

Тот факт, что погрешность, полученная в значении широты Сиены, больше, чем погрешность в широте Александрии, требует объяснения. Как мне кажется, Эратосфен на самом деле не проводил измерений в Сиене. Он, вероятно, просто воспользовался рассказом какого-нибудь путешественника о том, что в полдень дня солнцестояния Солнце было прямо над головой, и поэтому он брал широту Сиены равной значению, найденному им для наклона эклиптики, т. е. 23°51'20". Если мы возьмем для измерения в Сиене среднее квадратичное отклонение а равным 22' (меньшее значение мы никак не сможем обосновать), а для изме­рения в Александрии возьмем Г, равное 16', то значение Г для разности широт будет равно 27,2'. Такая погрешность составляет примерно 6,3%, и это нижний предел точности. Если мы положим, что для изме­рения расстояния а составляет 5%, то общая точность составит 8%. Я думаю, что более высокую точность для измерений Эратосфена мы обосновать не сможем. Полученная точность не настолько хорошая, как утверждают многие авторы в своих работах, но и не такая плохая, как утверждают некоторые.

Создается впечатление, что Эратосфен и его преемники не считали результат измерений особенно точным. В пользу такого заключения можно привести три довода. Во-первых, этот результат получен с ис­пользованием округленных чисел. Окружность Земли в 50 раз больше расстояния между Сиеной и Александрией, и само расстояние полу­чилось равным 5 000 стадиям. Не похоже, чтобы измерение действи­тельно приводило к таким величинам. Более вероятно, что эти величи­ны получены округлением результатов измерений, которые не рассмат­ривались как очень точные [10]), и такое расстояние могло быть просто общепринятой величиной, используемой в разговорах. Американцы, например, часто говорят, что по широте Соединенные Штаты протяну­лись от побережья до побережья на 3 000 миль. В обычной беседе вполне можно сказать, что на таком расстоянии друг от друга находятся Вашингтон и Сан-Франциско. На самом же деле расстояние между этими городами составляет всего лишь 2 400 миль.

Во-вторых, Эратосфеном или кем-то близким ему по времени длина окружности была вскоре изменена с 250 000 на 252 000 стадий. Воз­можно, это было сделано для того, чтобы получить длину одного гра­дуса дуги, равной удобной величине 700 стадий [Дрейер, 1905, с. 175].

В-третьих, имеется более позднее измерение (а возможно, и два), о котором сразу можно сказать, что оно неверное. Если величину, найденную Эратосфеном, рассматривать как точную, то зачем отстаи­вать отличную от нее и, очевидно, грубую оценку? Речь здесь идет об оценке размеров Земли, принадлежащей Посидонию - философу, который большую часть своих трудов написал на Родосе приблизи­тельно между -100 и -50 годами. Он жил немного позже Гиппарха и более чем на столетие позже Эратосфена. Все его труды, за исклю­чением фрагментов, потеряны. Его оценка размеров Земли известна нам только из работ других авторов (ссылки на эти работы можно найти в книге Дрейера [1905, с. 175 и далее]).

Как утверждал Посидоний, звезда Канопус (± Киля) на Родосе лишь касается горизонта , а в Александрии достигает высоты 7 1/2 градуса, что составляет 1/48 часть полного круга. Расстояние от Родоса до Александрии, опять же по Посидонию, равно 5 000 стадий. Таким образом, окружность равна 240 000 стадий.

Мы не знаем, о какой стадии идет речь [11]), и поэтому не можем переложить результат на современные меры длины. Однако по двум причинам мы можем сказать, что это довольно плохой результат, на­много хуже, чем результат Эратосфена. Во-первых, прямой путь от Александрии до Родоса проходит по воде, и это расстояние нельзя измерить с той же точностью, что и расстояние от Сиены до Александ­рии. Если при измерении расстояния по воде получалась точность 25%, то это уже хорошо. Во-вторых, плохо измерена разность широт. У Посидония она получилась равной 7 1/2 градуса, а правильное значение-около 51/4 градуса.

В рассматриваемое время склонение Канопуса было около -52,7°. Широту Родоса возьмем равной 36,4°. Тогда зенитное расстояние Канопуса на Родосе [12]) было равно примерно 89,1°, т. е. Канопус до­стигает высоты примерно равной 0,9°, если не принимать во внимание рефракцию. На самом же деле с учетом рефракции эта звезда появля­лась в 1,4° над горизонтом, а не касалась горизонта, как утверждает Посидоний.

Широта Александрии приблизительно равна 31,2°, т. е. высота Канопуса с учетом рефракции была равна 6,2°, а не 7,5°, как говорит Посидоний. Посидоний должен был получить разность широт рав­ной примерно 4,8° [13]), а не ту разницу 7 1/2 градуса, которой он поль­зовался.

Понять ошибку Посидония трудно, и она вызвала большие споры. Обзор этой полемики можно найти в работе Фишер [1975]. Если рас­сматривать вопрос в целом, то мне вовсе не кажется, что Посидоний сам получал все соответствующие величины. Более вероятно, что он брал информацию из каких-то источников, которые он либо неправиль­но понял, либо небрежно использовал. У нас есть другой пример чре­звычайно большой ошибки, допущенной Посидонием [Дрейер, 1905, с. 173-174]. Доказывая, что Земля не является плоской, Посидоний упоминает звезду, которую мы называем і Дракона. Как он говорит, эта звезда проходит через зенит над городом Лизимахией во Фракии. Широта Лизимахии приблизительно равна 40°33', а звезда в рассмат­риваемое время была более чем в 53° к северу от экватора. Ошибка составила 13°, а ожидать можно было погрешность, равную самое боль­шее 30'.

Одно объяснение состоит в том, что Посидоний просто приводит расчеты как пример подобных вычислений. В работах по истории науки именно так чаще всего объясняют чрезмерные ошибки. Но это объяснение, несомненно, неприемлемо для объяснения ошибки, полу­ченной Посидонием при определении положения і Дракона над Ли­зимахией, поскольку здесь было намерение получить научное заклю­чение посредством наблюдения. По моему мнению, такое объяснение неприемлемо ни в одном из тех случаев, где я его видел. Во всех тех случаях, которые я знаю, уже имелся результат, полученный с ис­пользованием подлинных данных. Я не понимаю, зачем давать в ' качестве иллюстрации пример, не соответствующий действительности, если имеется результат, полученный на основании тех же самых за­конов, но с использованием подлинных данных.

Такое объяснение плохо подходит и в данном случае. Как нагляд­ная иллюстрация техники вычислений метод Посидония идентичен методу Эратосфена. В обоих случаях получаем разность широт и рас­стояние, и эти значения подставляем в уравнение (III.2). С увереннос­тью можно сказать, что Посидонию были известны величины, найден­ные Эратосфеном. И другие значения Посидонию ни к чему, если только он не считал, что делает нечто новое в науке, а не просто дает иллюстрацию с выдуманными числами.

В «Синтаксисе» Птолемей размеры Земли не использует, но он пользуется ими в своей «Географии» [Птолемей, год написания неиз­вестен, глава 1.7]. Там он берет окружность, равной 180 000 стадий.

Отсюда получается, что один градус равен 500 стадиям. Имеются до­статочные основания считать, что стадия у Птолемея была больше, чем та стадия, которую использовал Эратосфен [Фишер, 1975], и, воз­можно, это была королевская египетская стадия длиной около 210 метров. В этом случае окружность получается равной 37 800 километ­рам, что не так уж плохо.

В итоге греческие астрономы к -200 году знали размеры Земли с точностью примерно 10%. Но не стоит преувеличивать значение точ­ности их результатов; точность измерений была ограничена имеющи­мися в распоряжении греческих астрономов приборами. Основное вни­мание следует обратить на тот факт, что они смогли встать как бы вне Земли и в своем ничем не ограниченном воображении увидеть ее со сто­роны.

За все семь веков, остававшихся греческой астрономии со времени Эратосфена и до ее упадка, знание о размерах Земли, кажется, так и не было улучшено.

 



[1] Как единица длины стадия (ГД±ґ№їЅ) была распространена в древнем мире, возможно, повсеместно, но не везде она имела одни и те же размеры. Так стадия, использовавшаяся в Египте, равнялась примерно 157,5 метра; другая стадия, назы­ваемая иногда «королевская египетская стадия», равнялась примерно 210 метрам. Олимпийская стадия - это примерно 185 метров [Дрейер, 1905, с. 176]. Были стадии и других размеров, но примерно того же порядка.

[2] Непосредственно перед тем как привести эти размеры, Аристотель упоминает тех, кто предполагал, что Атлантика граничит с какими-либо областями в Индии, и он отмечал, что это неправдоподобно. Колумб не выдвигал никакой новой идеи, когда предполагал, что Индии можно достигнуть, плывя на запад. Его великим вкладом является то, что он предпринял определенные действия, основываясь на старой идее.

[3]  Заинтересовавшегося читателя я отсылаю к книге Дрейера [1905, глава VIII] или к работе Фишер [1975]. Сравнение этих источников дает некоторое представление о том споре, который вызвали измерения размеров Земли, проведенные в Греции.

[4]  В разделе V.6 я приведу некоторые основания, позволяющие считать, что на самом деле Эратосфен определил широту Александрии равной 30°58'. Если это так, то разность по широте у Эратосфена получалась равной 7°6'40" [Ньютон, 1973], примерно 1/50,6 круга. Эратосфен, естественно, округлил это значение до 1/50.

[5] Работы Эратосфена утеряны, и мы полностью основываемся на том, что о нем говорят другие авторы. Все эти источники единодушны в том, что Эратосфен рассматривал Сиену и Александрию и что разница широт у него получилась равной 1/50 кру­га, но относительно того, каким способом Эратосфен определял расстояние между го­родами, такого единодушия нет.

[6] Эллинские правители Египта знали многие расстояния, измеренные профес­сиональными ходоками, которые определяли расстояния, считая шаги. Насколько я знаю, прямых указаний на то, что расстояние между Сиеной и Александрией было измерено именно так, у нас нет.

[7] «Караванным методом» расстояние определялось так: переход из Сиены в Александрию занимал 50 дней, а за день караван обычно проходил расстояние, равное 100 стадиям. Я не видел ссылки непосредственно на древний первоисточник, где упоминается такой способ определения расстояния. Правда, искал я не так уж старательно. Этот способ среди других отмечен в работе Фишер [1975]. В книге Дрейе­ра [1905, с. 176] упоминается о способе определения расстояния шагами. Насколько я могу судить, вполне возможно, что «караванный способ» измерения расстояний при­думан в наши дни и не имеет «классического» подтверждения. Аналогичный случай представляет собой, вероятно, так называемое «затмение Цезаря» [Ньютон, 1970, с. 70 и далее].

[8] Под центральной величиной автор понимает некоторое среднее значение изме­ряемой величины (Примеч. Ред.).

[9] Это не строгое определение среднего квадратичного отклонения, но в нашем приблизительном обсуждении достаточно и его Строгое определение дано в разделе 5 Приложения А.

[10] Если величина 5 000 стадий определена по путешествию каравана, то она является произведением двух округленных величин, а именно 50 дней в пути по 100 стадий в день. Если же она получена профессиональными ходоками, то маловероятно, чтобы их результат был величиной, кратной 1 000.

[11] Дрейер говорит, что это стадия, равная 157,5 метра, но насколько мне извест­но, оснований для такого утверждения нет.

[12] Когда Канопус находился в плоскости меридиана.

[13] Такая разность отличается от правильного значения 5 1/4 градуса. В основ­ном это обусловлено рефракцией; небольшой «вклад» в это различие вносит и то ок­ругление, которое я использовал в вычислениях. Рефракция особенно заметно сказы­вается на малых высотах, и это третья причина, по которой метод Посидония хуже, чем метод Эратосфена.