ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

1.        Что нужно астроному знать о Земле

2.        Форма Земли

3.        Измерение широты и наклона эклиптики

4.        Размеры Земли

5.        Измерение долготы

6.        Движение Земли

 

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

3. Измерение широты и наклона эклиптики

 

С помощью довольно простых приспособлений широту места можно определить одним из двух методов, известных греческим астрономам еще в -400 г. или даже раньше.

Суть первого метода состоит в следующем. Предположим сначала, что Полярная звезда находится строго над Северным полюсом. Тогда для одного и того же наблюдателя она всегда будет появляться в одном и том же положении. Если наблюдатель находится на экваторе, то Полярная звезда будет на горизонте и ее высота равна нулю. Если наблюдатель переместится на север, то Полярная звезда поднимется над горизонтом и ее высота будет равна широте, на которой находится наблюдатель. То, что Полярная звезда расположена не точно над полюсом, лишь немного усложняет дело. Наблюдатель измеряет на­ибольшую и наименьшую высоты Полярной звезды и получает ши­роту данного места, взяв среднее арифметическое этих двух вели­чин [1]).

Другой метод, видимо более распространенный, связан с наблю­дениями Солнца. Предположим сперва, что момент наблюдения - ве­сеннее равноденствие, т. е. Солнце находится в плоскости экватора. Для наблюдателя на экваторе (широта места наблюдения равна 0°) Солн­це в полдень находится прямо над головой, т. е. в полдень зенитное расстояние Солнца равно нулю. Если наблюдатель движется от эква­тора на север, то зенитное расстояние Солнца в полдень возрастает и его величина всегда равна значению широты, на которой находится наблюдатель. На Северном полюсе в полдень во время равноденствия зенитное расстояние Солнца равно 90°, т. е. Солнце только подходит к горизонту, но не поднимается над ним.

В момент равноденствия у Солнца наибольшая скорость в направ­лении север - юг. Погрешность в вычислении момента равноденствия или при измерении времени дает заметную погрешность при определе­нии широты этим вторым методом. По этой причине обычно используют наблюдения, проведенные в момент солнцестояния, когда Солнце во­обще не движется в направлении север - юг.

 

Рис. III.1.Измерение наклона эклиптики и широты. Линия EQ - экватор. Наблю­датель находится в точке А, и его широта Ж равна углу AEQ. Зенит для наблюдателя находится в направлении AZ. В летнее солнцестояние Солнце находится в направле­нии ES, в зимнее солнцестояние-в направлении EW. Углы SEQ и WEQ равны наклону эклиптики µ. В летнее солнцестояние наблюдатель видит Солнце в направ­лении AS1 и угол ZAS1 равен Ж - µ. В зимнее солнцестояние наблюдатель видит Солнце в направлении AW1 и угол ZAW1 равен Ж+µ.

 

Метод использования солнцестояний показан на рис. III.1. Пред­положим, например, что наблюдатель находится в 30° северной широ­ты и что наклон эклиптики равен 24°. Тогда точка, расположенная прямо под Солнцем, в летнее солнцестояние находится в 24° северной широты. Следовательно, для нашего наблюдателя Солнце в полдень для летнего солнцестояния находится в 6° к югу от зенита. В зимнее солнцестояние его зенитное расстояние равно 54°. Широта же равна среднему арифметическому этих двух величин.

Если наклон эклиптики считать известной величиной, то наблюда­тель может воспользоваться наблюдением только одного солнцестоя­ния. Но в течение почти всего периода греческой астрономии наклон эклиптики не рассматривался как хорошо известная величина, и некоторые наблюдатели думали, что им самим необходимо измерять его одновременно с измерением широты. Как мы видели, широта - это среднее арифметическое (половина суммы) зимнего и летнего зенит­ных расстояний, а наклон эклиптики равен половине их разности.

Теоретическое выражение, полученное Ньюкомом [Ньюком, 1895] для наклона эклиптики µ, следующее:

 

µ=23,452 294°-0,013 012° 5Т -0,000 001 64°Т2+0,000 000 503°Т3,     (III.1)

 

где Т обозначает время, измеренное в столетиях, от полудня 0 января 1900г., время гринвичское. В -225г. Т =-21,25 и µ=23,723242° (=23°43'23,7"), а в 1900 г. наклон эклиптики составлял всего лишь 23,452294°  (23°27'8,3").  С -225г.   наклон  эклиптики  уменьшился немного больше, чем на четверть градуса.

Я взял для примера -225 г., потому что к этому времени относятся самые знаменитые греческие измерения наклона эклиптики. Сделаны они были  астрономом и геогра­фом  Эратосфеном   (годы жизни приблизительно с -275 по -195). Родом он был из Кирены [Дрей-ер, 1905, с. 174], учился в Алек­сандрии и в Афинах,   затем по­селился в Александрии.   Труды его, за исключением нескольких отрывков, утеряны, и мы знаем о них в основном по цитатам и комментариям, которые   можно найти  у других  авторов.  Нам неизвестно, каким инструментом пользовался Эратосфен для про­ведения своих измерений. О его результате сказано лишь следую­щее: Эратосфен получил, что раз­ница между высотами Солнца в летнее и зимнее солнцестояния равна  11/83 полного круга; та­ким образом он находит, что нак­лон эклиптики равен 11/166 кру­га, или 23,855° (=23°51'20''). Как мы видим, по сравнению с при­веденной выше величиной ошиб­ка у Эратосфена  составляет по­чти 8', а это примерно половина радиуса видимого диска Солнца. Конечно, нужно поставить во­прос о том, как могли быть проде­ланы такие измерения. В более позднее время обычным устройством для такого рода измерений у греков был стенной квадрант. Стенной квад­рант - это четверть круга, закрепленная так, чтобы она находилась в плоскости меридиана. Сначала подвешиваем из центра отвес и отме­чаем, где нить отвеса пересекает круг; так получаем вертикаль. Затем размечаем круг в градусах или в других удовлетворяющих нас еди­ницах. Наконец, в центре помещаем небольшой штырек, тень от кото­рого в полдень попадает на деления и показывает высоту Солнца.

Если пользоваться этим прибором достаточно аккуратно, то мож­но найти наклон эклиптики с погрешностью в 2' или 3'. По размерам погрешности у Эратосфена можно предположить, что он пользовался более древним инструментом так называемым гномоном (рис. III.2).

 

Рис. III.2. Устройство гномона. Гномон - это вертикальный шест, представленный на рисунке прямой ТВ, вместе с градуи­рованной шкалой BUP, идущей по неко­торой горизонтальной поверхности на се­вер от точки В. Гномон используется для нахождения высоты Солнца над горизон­том. Солнце нельзя рассматривать как точечный источник света. Луч от верхнего края падает на шкалу в точку U, луч от нижнего края - в точку Р. Отрезок UP называется полутенью

 

 

 

Гномон - это просто вертикальный шест, установленный на некоторой плоской горизонтальной поверхности. Кроме того, на поверхности от основания шеста на север нанесена шкала. Если тень попадает на шкалу, то это полдень. Теперь надо измерить длину тени и найти высоту Солнца из прямоугольного треугольника.

По двум причинам квадрант является более совершенным прибором, чем гномон. Во-первых, если наблюдатель допускает ошибку при на­хождении вертикального направления при пользовании, квадрантом, то такая ошибка не дает никакой погрешности в наклоне эклиптики, хо­тя и даст погрешность при определении широты. Ошибка, допущенная при нахождении вертикального направления, сводится на нет при вы­читании показаний полученных в летнее и в зимнее солнцестояния, но при вычислении среднего арифметического, которое дает широту, эта ошибка остается. Если же наблюдатель ошибается при вертикаль­ной установке гномона, то это по-разному сказывается на показаниях прибора в летнее и в зимнее время, так что получаем погрешность и в наклоне эклиптики, и в широте.

Во-вторых, тень, которую отбрасывает штырек, установленный в центре квадранта, симметричная и наблюдатель не получает система­тическую погрешность при считывании углов. Тень, отбрасываемая гномоном, как это видно на рисунке, не симметричная, т. к. Солнце не является точечным источником света. Луч от верхнего края Солнца попадает на горизонтальную поверхность в точку U, а луч от нижнего края попадает в точку Р. Часть шкалы между точками В и Uполнос­тью затемнена, часть шкалы, находящаяся к северу от точки Р, не затемнена вовсе, а на отрезке UPтень от полной в точке Uсходит на нет в точке Р. Размеры этой переходной зоны, называемой полутенью, меняются в зависимости от того, стоит ли Солнце высоко на небе, или же низко.

По шкале надо смотреть значение, соответствующее середине от­резка UP. Однако греческий астроном раннего периода мог и не по­нимать этого. Отметим также, что определить середину отрезка UP совсем не просто. Итак, при пользовании гномоном ожидаемая по­грешность сравнима с видимым радиусом солнечного диска, а этот радиус равен примерно 16'. Так что ошибка в 8', допущенная Эратосфеном при нахождении наклона эклиптики, легко объяснима, если он пользовался гномоном, а не квадрантом или каким-либо другим прибором, показания которого определяются по симметричной тени.

Эратосфен измерил также широту Александрии. Об этом речь в следующем разделе. Здесь же отметим только, что широту он опреде­лил с погрешностью, равной 10'. Такую погрешность можно ожидать при пользовании гномоном, но никак не при использовании инстру­мента с градуированным кругом.

Конечно, размеры ошибок, допущенных Эратосфеном, не доказы­вают, что он пользовался именно гномоном. Он мог пользоваться, например, четвертью круга очень маленького радиуса, по которому трудно точно считывать показания.

Величина наклона эклиптики у Эратосфена больше, чем получается по теории Ньюкома, а греческие астрономы и до Эратосфена использовали значение 24°1 [2]). Несколько большие (как и у Эратосфена) зна­чения наклона эклиптики получены в измерениях, сделанных в Китае до нулевого года [Нидхэм, 1959, с. 287-291]. Это приводит Нидхэма к предположению, что теория Ньюкома требует пересмотра для вре­мен 2 000 лет тому назад.

К счастью, у нас есть более точная информация о наклоне эклипти­ки 2 000 лет тому назад, чем та, которую можно извлечь из самих измерений наклона эклиптики, проделанных астрономами того времени. Мы располагаем приблизительно восьмьюдесятью измерениями скло­нений [3]) различных звезд, сделанных греческими астрономами между -290 и 140 годами. По этим измерениям мы можем найти расположение плоскости экватора на -114 г. (середина промежутка от -290г. до 140 г.) и, следовательно, можем рассчитать наклон эклиптики, соот­ветствующий этому времени [Ньютон, 1974]. В результате мы получаем 23°43'±3', что существенно меньше, чем дают измерения, проделанные в то время; кроме того, полученное значение хорошо согласуется с теорией Ньюкома. Итак, нет оснований подозревать, что в теории Ньюкома имеется большая ошибка.

Интересно отметить, что греческие астрономы, насколько я знаю [4]), так никогда и не улучшили значение, найденное Эратосфеном. Именно это значение использовалось в греческой астрономии на протяжении более чем семи столетий, и именно его греческая астрономия завещала своим последователям.

Греческие астрономы могли довольно просто определить широту точки на поверхности Земли, но получилось так, что им были извест­ны широты лишь нескольких мест. Причина в том, что до конца периода греческой астрономии во многих местах измерения так и не были проведены. Широты нескольких мест в Египте, широты Родоса, Афин и немногих других мест - вот, вероятно, и все, что было тщательно измерено, скажем к 500 г.

 



[1] Почти всегда при обсуждении греческих астрономических измерений я игно­рирую рефракцию и другие слабые эффекты. Погрешности, порождаемые этими эффектами, не больше 30', а обычно намного меньше Типичная погрешность состав­ляет примерно 1'.

[2] Это скорее округленное число, а не полученное при точном измерении; 24° составляют одну пятнадцатую часть круга.

[3] Склонение - это величина, на которую звезда отстоит к северу или к югу от небесного экватора. Более подробное объяснение дано в Приложении А.

[4] Нидхэм приводит измерение, сделанное астрономом по имени Пифей (Pytheas) примерно за столетие до Эратосфена. Пифей получил наклон эклиптики равным 23°50'. Однако астрономы более позднего времени пользовались только значением Эратосфе­на, хотя оно и не такое хорошее Яне пытался найти источник, в котором приведена величина наклона эклиптики, приписываемая Пифею.