ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

1.        Греческая арифметика

2.        Греческая геометрия

3.        Греческая тригонометрия на плоскости

4.        Греческая сферическая тригонометрия

5.        Два общих  замечания

 

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

4. Греческая сферическая тригонометрия

 

Из всей греческой математики еще нам потребуется лишь триго­нометрия сферического прямоугольного треугольника. Такой тре­угольник изображен на рис. II.6. Читатель должен представить себе, что дуги a, b и с - это части больших кругов, проведенных на сфере. Эти дуги назовем сторонами сферического тре­угольника. Стороны треугольника пере­секаются под углами А, В и С; угол С считаем прямым. Ситуация похожа на ситуацию с прямоугольным треуголь­ником на плоскости: если заданы любые две величины (при этом мы знаем, что С=90°), то остальные величины также можно найти. Однако не обязательно, чтобы одной из задаваемых величин бы­ла сторона; правда, если заданы только углы, может случиться, что нельзя бу­дет обеспечить хорошую точность при нахождении сторон [1].

Из дошедших до нас греческих работ по сферической тригонометрии наиболее важен, по-видимому, трактат Менелая [Менелай, ок.100]. На языке оригинала эта работа утеряна, и она сохранилась лишь в средневековом арабском переводе, а теперь есть еще и немец­кий перевод 1936 г. Основная теорема, необходимая нам при изучении греческой астрономии,- это теорема под номером III.1 на с. 194-197 немецкого перевода. Сопровождающий теорему чертеж дан на рис. II.7; арабские буквы, использованные на чертеже, заменены соответствующими буквами латинского алфавита.

Пусть у нас есть сфера с центром в точке Н. Нарисуем на ней дуги АВ и AG двух больших кругов; на этих дугах отметим произ­вольные точки D и Е, как показано на рисунке Затем проведем дуги DG и BE, пересекающиеся в точке Z. Прямые линии, которые мы видим на рисунке, для формулировки теоремы не нужны, они ис­пользуются в доказательстве. Формулировка теоремы состоит из двух частей:

sin GE      sin GZ    sin BD

——— = ——— * ———

sin EA      sin ZD  sin ВA

 

sin GA     sin GD     sin BZ

——— = ——— * ———

sin AE      sin DZ    sin BE

 

Если я пишу, например, sin GE, то имею в виду синус угла, стягива­емого дугой GE. Птолемей приводит формулировку этой теоремы (только не для синусов, а для хорд) в главе 1.13 «Синтаксиса».

 

Рис. II.7. Одна важная теорема из сферической тригонометрии AEG и ADB- дуги больших кругов на сфере, центром кото­рой является точка Н Соединим точки D и G а также точки Е и В дугами больших кругов, и пусть дуги DG и BE пересекают­ся в точке ZТеорема связывает синусы дуг АВ, AG, BE, DG и различных дуг, на которые они  разделены

 

 

 

 

 

 

Применяя данную теорему к прямоугольному сферическому тре­угольнику, изображенному на рис. II 6, мы получаем два важных соотношения.

sin a = sin A *sin с,

cos A = tg b/tg с.          (II.11)

Если нам задан угол А и одна из сторон a, bили с, то из уравнений (II.11) мы можем найти две другие стороны Ясно, что для угла В выписываются уравнения, аналогичные уравнениям (II.11)

Птолемей уравнения (II.11) или их эквиваленты в терминах хорд не использует. Когда ему требуется соотношение, выраженное каким-либо из этих уравнений, он начинает с теоремы, стоящей у Менелая под номером III.1.

 



[1] Соотношение здесь такое cos c=ctg A * ctg В Если стороны малы, то треуголь­ник почти плоский и величина угла А очень близка к величине угла, дополнительного к углу В. В этом случае cos с стремится к единице и трудно точно определить с.