ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

1.        Греческая арифметика

2.        Греческая геометрия

3.        Греческая тригонометрия на плоскости

4.        Греческая сферическая тригонометрия

5.        Два общих  замечания

 

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

2. Греческая геометрия

 

И в области планиметрии, и в стереометрии греки были выдаю­щимися геометрами. Знаменитый геометрический труд Евклида, на­писанный около -300 г., по сути дела до сих пор не знает себе рав­ных, хотя в последнее время некоторые педагоги пытались найти более эффективные методы обучения геометрии.

Вавилоняне и египтяне, а возможно, и другие более древние на­роды, чем греки, обладали обширными познаниями в геометрии. Греки достигли большего, но отличительной чертой их знания является, по-видимому, роль логического доказательства. Предшествующее геометрическое знание было, вероятно, в основном, если не полно­стью, прагматическим.

Как мы увидим, теоретическая структура греческой астрономии была по своей основе геометрической. Греческие астрономы постули­ровали, что небесные тела движутся в соответствии с определенными геометрическими моделями (глава IV). Задача, которую они сами себе ставили, состояла в отыскании этих моделей из анализа астрономи­ческих наблюдений. В большой степени это было процессом решения геометрических задач.

Позже

мы приведем характерные примеры. Здесь же обратим вни­мание на один класс задач, решенных греками. Треугольник полно­стью определяется шестью величинами, а именно длинами трех его сторон и размерами трех его углов. Грекам, как мы знаем, было из­вестно, что если определить три величины, то затем, за исключением двух случаев, можно вычислить и три остальные.

Первое исключение соответствует заданию трех углов. Предпо­ложим, мы нарисовали отрезок длиной 10 сантиметров, и на его про­тивоположных концах построили какие-нибудь два из заданных углов. Наш отрезок будет общей стороной этих двух углов, другие же стороны пересекутся в некоторой точке, и мы получим треуголь­ник с заданными углами. Однако с самого начала мы могли взять отрезок длиной 20 сантиметров и получить треугольник с теми же самыми углами, но все его стороны были бы в два раза длиннее. Иначе говоря, одной из задаваемых величин должна быть сторона треуголь­ника.

Другое исключение возникает в том случае, когда заданы две стороны и угол, но он не является углом между заданными сторонами. Если читатель попробует построить треугольник по этим данным, то он должен увидеть, что существуют два и только два треугольника, удовлетворяющие условиям.

Таким образом, за исключением этих двух случаев, треугольник полностью определяется только тремя величинами. Эти величины могут быть заданы произвольно, лишь бы при этом не нарушались фундаментальные законы геометрии.

Задача, являющаяся центральной для понимания некоторых аст­рономических результатов Птолемея, состоит в нахождении углов по заданным трем сторонам. Метод, которым Птолемей решает эту задачу в главе VI.7 «Синтаксиса», показан на рис. II.1; вероятно, это стандартный для греческой геометрии прием.

На рис. II.1 буквы А, В и С обозначают три угла, которые надо найти; буквы а, b и с обозначают три заданные стороны. Сторона а лежит против угла A, b - сторона, противолежащая углу В, и сто­рона с лежит против угла С. Чтобы не загромождать рисунок, букву с я на нем не поставил. Считаем, что с обозначает самую длинную сто­рону [1]), и пусть перпендикуляр f, опущенный из С, делит сторону с на части d и е. Пусть а обозначает самую короткую сторону. Приме­нив теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, мы найдем, что f2=b2-d2=a22; следова­тельно,

d2-e2=b2-a2.          (II.1)

Поскольку а и bзаданы, то нам известна и разность d22. Кроме того, мы знаем, что

d+e=c,                 (П.2)

и эта сумма нам также известна, поскольку сторона с задана. Раз­делив уравнение (II.1) на уравне­ние (II.2), мы получим

d-e= (b22)/с.       (II.З)

Из уравнений (II.2) и (II.3) несложно найти d и е; зная d и e, мы най­дем f. И тогда A=arcsin (f/b), B=arcsin(f/a) и С=180°-A-В.

Греческие математики проделали выдающуюся работу не только в области планиметрии, но и в стереометрии. Однако нам, кроме некоторых элементарных результатов из сферической тригонометрии, здесь стереометрия не потребуется.

 



[1] Если треугольник равносторонний или равнобедренный, то задача тривиальная.